[41]参见《算术的基本原则》（Grundgesetze der Arithmetik）第33节，第56－65节等处。弗雷格要求定义是完全的，也就是说，被定义的概念（弗雷格那种意义上的）对任何对象是否为真，都要确定下来。此外，他还严禁分情况定义。

[42]这句话与前一句的联系在于，按照罗素的思考方式，初始记号的意义来自语言之外，是由世界中有什么决定的，而前面实际上否定了所有以常项形式出现的逻辑初始记号，这就表明逻辑并不受制于世界中的存在物。逻辑是自主的。这句话在德文中含有自己为自己负责的意思。

[43]罗素把自明性归为一种直觉知识，并一度认为一种自明性可以保证不可错的知识。参见《哲学问题》（The Problems of Philosophy）第八章。

[44]在《算术的基本原则》（Grundgesetze der Arithmetik）中（例如第32节等处），弗雷格采纳了一种原则来保证构造出的句子确实表达的含义，方法就是通过保证句子中的词语都有指称，并且词语都按照正确的方式组合成句子。维特根斯坦采取了相反的理解方式，即只要是能够写出来的句子，就都可以通过设定指称的方式来使其具备正确的结构。他并不承认存在独立有效的合法性标准。

[45]“相同”通常表示关系。关系用二元或多元谓词表示，表示性质则是一元谓词。维特根斯坦的例子利用了这个区别。

[46]应该说，并没有直接的证据表明弗雷格和罗素用了合取或析取来定义量化句。不过，维特根斯坦的意思应该还是清楚。比如，当用“f(a)?f(b)?f(c)?……”（其中a、b、c等是x所取之值的名称）来定义“?xf(x)”，我们用了省略号，意思是，对“x”的所有值来说“f(x)”都是真的，这就使用了“所有”一词。

[47]这里的意思不是说，对对象和命题的列举就确定了所有对象和命题，而是说，给出这种列举也就给出了相应的原型，而原型让我们知道所有的对象和基本命题是什么。

[48]对于模态词“可能的”和“必然的”，弗雷格与罗素的解释都与当代的用可能世界的解释不同。罗素把模态词解释成命题函项的谓词，“f(x)是可能的”是指对x的有些值“f(x)”是真的，“f(x)是必然的”意思是，对x的所有值“f(x)”都是真的。参见《逻辑与知识》，苑莉均译，商务印书馆，1996年，第279页以下。

[49]如果补全，这句话的意思应该是，对于常规的表达“f(a)”，可以用概括句“有且仅有一个x，f(x)”。

[50]罗素曾经用“不可区分物同一”这一原则来定义等同，也就是说，如果a和b的所有性质相同，那么它们就是同一个东西。参见“The Theory of Logical Types”（in The Collected Papers of Bertrand Russell vol.6: Logical and philosophical papers, 1909－13, John G. Slater et al. ed., Routledge, 1992），pp.24－25。这一原则和“同一物不可区分”原则一起，也被称为“莱布尼茨律”。

[51]在《数学原理》中，为了使罗素给出的逻辑系统成立，必须假定世界中有无穷多个对象。这一点通过设置无穷公理得到满足，但这样逻辑也就不再是先验的了。

[52]参见《数学的原则》（Principles of Mathematics）第16节。在《数学原理》中，罗素放弃了这种定义，而把“基本命题”当作初始概念。

[53]在罗素和摩尔那里，这类句子被认为表达了“命题态度”（propositional attitudes），即一个人（或他的心灵）与一个命题之间的关系。“命题态度”这个术语至今仍然沿用。

[54]这里提到的应当是罗素著名的多重关系理论，这是一种判断理论，按照这种理论，命题是不需要的。参见《逻辑原子主义哲学》（载于《逻辑与知识》，苑莉均译，商务印书馆，1996年），第260页以下。

[55]这段颇为费解的话应该预设了，要把逻辑运用于世界，就得承认逻辑依赖于世界（在世界是“什么”而不是“如何”的意义上），也就是说，的确是有了世界才会有一种逻辑。读者可把这里表达的思想与前面5.473对比一下，看是否有冲突。

[56]罗素曾经表达过这样一种想法：对于特定数目的关系项，总是存在一种最为简单的关系，这些关系项的数目决定了这种关系的形式。比如，对于三个关系项A、B、C，将其联系到一起的可以是A与B之间的父子关系和A与C之间的母子关系，也可以是A为了C而忌妒B这样一种关系。后一种关系是最简单的形式，因此，“……为了……而忌妒……”所表示的关系是一种三元关系。总之，一种关系的形式是由它作为最简单的关系所能联系的项数决定的。参见罗素，《我们关于外间世界的知识》，陈启伟译，上海译文出版社，1990年，第39－40页。

[57]这里和5.556中所说的“等级系统”都是指通过真值操作获得的句子系统，其基础为基本命题，上层句子是下层句子的真值函项。这个系统同时也是形式序列。参见5.25及以下。

[58]“数变元”一词原文为“die variable Zahl”，直译为“变化的数”。这在学理上说不通。数都是确定的，没有变化的数一说。另外，把形式概念理解为变元，这是前面已经采取过的方式（例如4.1271）。因此，译者怀疑原文为笔误，或者是一种松散的说法，故而译为“数变元”，即在数中取值的变元。

[59]类是弗雷格和罗素用来定义自然数的基础概念。

[60]参见5.252注释。

[61]在罗素的分支类型论中，命题函项和主目都被区分成不同类型，只有特定的搭配才能构成合法的命题，这样才得以避免悖论。参与这种合法搭配的函项被称为“直谓函项”。可还原公理是说，任何一个函项都可以有一个与之外延等价的直谓函项。有了可还原公理，就可以用命题函项来定义类。可还原公理是否是逻辑命题，这一点备受争议。关于可还原公理，可以参见《数理哲学导论》（晏成书译，商务印书馆，1982年）第178－179页。在那里，可还原公理被译为“还原公理”。

[62]这里涉及两个区别，一个是逻辑命题与普通句子的区别（参见4.46－4.4661），另外一个则是两种证明的区别，一种证明只利用逻辑推理规则，另外一种则还需要逻辑命题为前提。

[63]弗雷格没有把自明性当作衡量逻辑公理的正式标准，但在论述中常诉诸自明性。

[64]4.121和5.511也联系到了镜子的比喻。镜面与图画一样，通过反射光线来表现事物。因此，图像显示一些东西，这与镜子的反映是类似的。镜子形成的镜像是二维的，但它表现有深度的图景。这里的镜像就是所显示的东西，而表现的图景相当于被言说的东西。进一步的解释参见译后记。

[65]弗雷格在语言哲学中做出的奠基性贡献，就是区分了语言的含义（Sinn）与指称（Bedeutung）。在《论含义与指称》这篇经典文章中，这个区分就是通过讨论等式为什么能够传达知识内容做出的。

[66]关于“实验”一词的意义，可以对照4.031。实验是一种只控制过程而结果开放的操作活动。实验就是要在过程得到控制的情况下，看能得到什么结果。

[67]维特根斯坦这里应该是对赫兹的一个想法的延伸。赫兹在《力学原理》（The Principle of Mechanics）第109、第110节表达了这样一个观点：力学定律在质点系统的各点间建立的联系将排除掉一些可能的位移，这样，就可以从可能位移被排除的情况中，看出那种联系的存在。在维特根斯坦这里，可能性的排除与确定性的获得是同时的，而确定性则是可思考性的前提。

[68]在《未来形而上学导论》第13节，康德提出了这样一个问题：为什么一些空间对象就内部性质来说是完全一样的，但不能放到同一个空间中？用几何学的术语来说就是，为什么有些全等的图形不能重合。康德自己给出了一个回答，他把不能重合归咎于对象（物自体）与主体的感性之间的关系。维特根斯坦引入这个问题，应该是联系到前面6.3611最后一段谈到的对称性。

[69]本书一开始，世界作为事实的总体出现，现在则作为界限出现。请注意其中的区别和联系。