5.252 只有以这种方式，从形式序列中的一个项到另一个项（在罗素和怀特海的阶次系统中，就是从一个类型到另一个类型）的过渡才是可能的。（罗素和怀特海不承认这种过渡是可能的，但他们仍旧一再利用这种过渡。[40]）
5.2521 对一种操作的结果本身重复运用操作，我称其为迭代（“O'O'O'a”是对操作“O'ξ”进行三次迭代的结果）。
同样，对于对若干句子进行的若干操作，我也会说迭代。
5.2522 进而，我用记号“[a, x, O'x]”来作为形式序列a，O'a，O'O'a，……的通项。括号中的表达式是变元，其中第一项是形式序列的起点，第二项是序列中任意一项x的形式，第三项则是序列中紧接着x的那一项的形式。
5.2523 对操作进行迭代，这在概念上就等于说“诸如此类”。
5.253 一次操作会颠倒另一次操作的效果。操作之间可以彼此取消。
5.254 运算可以消失（比如“~~p”中的否定：~~p=p）。
5.3 所有句子都是对基本命题进行真值操作的结果。
真值操作是从基本命题得到真值函项的方法。
真值操作本质上就是不仅要从基本命题得到其真值函项，而且要以同样的方式，从真值函项得到新的真值函项。当对基本命题的真值函项运用真值操作，就总是得到基本命题另外的真值函项，即另一个句子。当对基本命题的真值操作结果再次运用真值操作，总是有对基本命题进行的单次操作，会得到与之相同的结果。
所有句子都是对基本命题进行真值操作的结果。
5.31 在4.31的表中，即使“p”“q”“r”等不是基本命题，表格还是有意义的。
容易看出，即使4.442中的“p”和“q”是基本命题的真值函项，这个表还是表达了基本命题的一个真值函项。
5.32 所有真值函项都是对基本命题运用真值操作的有限次迭代的结果。
5.4 这样，没有“逻辑对象”或“逻辑常项”（在弗雷格和罗素的意义上）这样的东西，也就是明显的。
5.41 因为，对真值函项进行真值操作，只要是基本命题的同样的真值函项，其结果也就总是相同的。
5.42 ?、?等不是左与右那种意义上的关系，也是显然的。
弗雷格和罗素的“初始记号”可以交叉定义，这足以表明它们不是初始记号，更不是关系记号。
显然，用“~”和“?”来定义的“?”，与用来和“~”一起定义“?”的是同一个东西，而第二个“?”与第一个“?”也是同一个东西，等等。
5.43 从一个事实p推出无穷多不同的事实，即~~p、~~~~p，等等，这真的让人无法相信。你也难以相信，从半打“初始命题”居然能推出无穷多的逻辑（数学）命题。
其实，所有逻辑命题说的都是同样的事情，也就是什么都没说。
5.44 真值函项不是实质性的函项。
比如，双重否定就得到肯定，这不就意味着在某种意义上否定就包含在肯定中吗？“~~p”是在否定~p，还是在肯定p，还是兼而有之？
句子“~~p”不是像谈论对象一样在谈论否定，而应当说，否定的可能性已经预先包含在肯定中。
如果有种被称为“~”的对象，那么“~~p”就在说与“p”不同的东西，因为一个句子在谈论~，而另一个则没有。
5.441 表面上的逻辑常项的这种消失也出现在“~?x~f(x)”的情况下，它所说的内容与“?xf(x)”相同；还出现在“?x[f(x)?x=a]”的情况下，它所说的内容与“f(a)”相同。
5.442 给我一个句子，那么以之为基础的所有真值操作的结果也就一起给出了。
5.45 如果有初始的逻辑记号，那么正确的逻辑一定要清楚地表明它们的相互位置，并为其存在提供依据。如何从初始记号出发建立逻辑，一定要弄清楚。
5.451 如果逻辑中有初始概念，那么这些概念一定要彼此独立。一个初始概念被引入了，那么在其所出现的所有连接中一定都要引入。因此， 它不能先在一种连接中引入，后来又在另一种连接中重新引入。例如，否定一旦被引入，那么在“~p”这种形式以及“~(p?q)”“?x~f(x)”等其他形式中，我们都一定要按同样的方式理解它。一定不能先为一种情况引入，然后又为另外一种情况引入。因为这样就会有人问，在两种情况下引入的概念是否有同样的意义，与此同时却没有理由在两种情况下都按同样的方式使用记号。
（简言之，弗雷格在《算术的基本原则》中就通过定义的方式引入记号所说的东西，改变一下措辞，也适用于引入初始记号的情况。[41]）
5.452 在逻辑符号系统中引入新的工具，这必然是一件大事。在逻辑中，新工具不应该在括号或者脚注中，以一种不担责任的方式引入。
（比如，在罗素与怀特海的《数学原理》中，出现了用文字表达的定义与初始命题。为什么突然出现文字了呢？这需要理由。但没有理由，其实也不会有理由，因为这其实是不合法的。）
但如果一种新工具的引入被证明在某个地方是必要的，那么我们立即就要问：“这种工具在哪里总是必须用到的？”这种工具在逻辑上的位置一定要弄清楚。
5.453 在逻辑中出现的任何数都必须要有理由。
应该说，在逻辑中不会有数，这一点必须变得清楚起来。
逻辑中没有地位特殊的数。
5.454 逻辑中没有并列，也不可能有分类。
逻辑中不可能有普遍与特殊之别。
5.4541 逻辑问题的解决必须是简单的，因为这些解决决定了什么算作简单。
人们总会猜想，一定存在某种研究领域，对其中的问题给出的回答先验地就是对称的，并连接成自成一体的系统。
在这个领域中，简单就是真理。
5.46 如果逻辑记号是以正确的方式引入的，那么记号的所有组合也就同时引入了。比如，不仅“p?q”，而且“~(p?~q)”等也一起引入了。与此同时，括号所有可能的组合所产生的效果，也应当已经确定下来了。这样也就很清楚，真正一般性的初始记号不是“p?q”“?xf(x)”之类，而是其最为一般性的组合形式。
5.461 在逻辑中像?、?这些看似关系的东西却不像真正的关系，它们需要括号。这个不起眼的事实实际上是重要的。
其实，这些表面上的初始记号要和括号一起使用，这表明它们不是初始记号。肯定不会有人相信，括号本身会有指称。
5.4611 逻辑操作符是标点符号。
5.47 很清楚，关于所有句子的形式，只要是事先能够说出的东西，都一定能一次性地说出来。
基本命题本身确实就已经包含了所有的逻辑操作，因为，“f(a)”说了与“?x[f(x)?x=a]”同样的东西。
只要是组合而成的，就有主目与函项之分；只要有主目与函项，所有的逻辑常项也就都有了。
可以说，唯一的逻辑常项，就是所有句子就其本性来说彼此共有的东西。
而这就是句子的一般形式。
5.471 句子的一般形式就是句子的本质。
5.4711 确定了句子的本质，就意味着确定了所有描述的本质，进而也就确定了世界的本质。
5.472 对句子最为一般的形式进行描述，也就是在描述逻辑中唯一的一般性的初始记号。
5.473 逻辑必须自己照顾自己。[42]
一个记号只要是可能的，就能够表示某个东西。在逻辑中只要是可能的，也就是允许的。（为什么“苏格拉底是相同的”什么也没有说，原因是没有一种性质被称为“相同的”。这个句子无意义，是因为我们没有做出某个本属任意的决定，而不是因为符号本身不合法。）
在某种意义上，在逻辑中我们不能犯错误。
5.4731 罗素谈论颇多的自明性[43]，在逻辑中可有可无，因为语言本身就防止了所有逻辑错误。——逻辑先验的，在于我们不能不合逻辑地思考。
5.4732 我们不能赋予记号以错误的含义。
5.47321 奥卡姆剃刀当然不是任意的规则，也不是为实践上的成功所验证的警句，它其实是说，没有必要用的记号单元是没有指称的。
为同一个目的服务的记号在逻辑上是等价的，没有目的的记号在逻辑上没有指称。
5.4733 弗雷格说，所有合法构造出来的句子都有含义。而我则要说，所有可能的句子都是合法构造的，如果它没有含义，这只能是因为我们还没有为其某些成分赋予指称[44] （即使我们觉得自己已经赋予了）。
比如，“苏格拉底是相同的”什么都没有说，是因为“相同”这个词我们没有用来表示性质。若用来表示相同，那就是按一种完全不同的方式使用——表示和被表示关系是不同的。因此，在这两种情况下，符号是完全不同的。两个符号共用一个记号，这只是偶然。[45]
5.474 需要多少基本的操作，这仅仅取决于我们的记号系统。
5.475 而这又都取决于我们要建立的记号系统要有多少个维度，即在数学上的复杂度。
5.476 显然，我们在这里所关心的不是必须表示的哪些初始概念，而是怎么表达一种规则。
5.5 所有真值函项都是对基本命题迭代使用操作(T0…T)(ξ0,…ξn)的结果。
这种操作否定右边括号中的所有句子，我称其为这些句子的否定。
5.501 我用形如“(ξ)”的记号来表明，括号中的表达式以句子作为项，并且这些项的顺序并不重要。“ξ”是变元，其值就是括号内表达式中的项。变元记号上面的横线表示括号中的所有值。
（比如，如果ξ有三个值P、Q、R，那么(ξ)=(P, Q, R )）
变元要取什么值，这要规定好。
方法就是对变元所表示的句子进行描述。
如何对括号内表达式中的项进行描述，这并不重要。
可以区分三种描述：
1.直接列举，这时我们可以直接用充当变元之值的常项来代换变元；
2.确定一个函数f(x)，其中x的所有值就是要描述的句子；
3.给出一种用于构造句子的形式规则，在这种情况下，括号中的表达式也就包含了一个形式序列的所有项。
5.502 这样就可以用“N(ξ)”来取代(T0…T)(ξ0,…ξn)。
N(ξ)是命题变元ξ的所有值的否定。
5.503 显然，我们很容易就能说明句子怎样能用这种操作构造出来，又怎样构造不出来。应该能用严格的方式说明这一点。
5.51 如果ξ有一个值，那么N(ξ)=~p（并非p）；如果ξ有两个值，那么N(ξ)=~p?~q（既非p也非q）。
5.511 逻辑，无所不包的、能够反映世界的逻辑，怎能使用这样一些怪里怪气的装置呢？只是因为它们能够彼此勾连，形成无限细密的网，直至成为一面巨镜。
5.512 如果“p”是假的，“~p”就是真的。于是在真句子“~p”中，“p”就是个假句子。那么，波浪线“~”怎么就能够让句子与实在相一致了呢？
但在“~p”中起否定作用的不是“~”，而是这种记号系统中所有否定p的记号所共同的东西。
由此也就有一种共同的规则，依据它可以得到“~p”“~~~p”“~p?~p”“~p?~q”，等等，以至无穷。所有这些东西的共同之处表现了什么是否定。
5.513 可以说，所有既肯定p又肯定q的符号共同的东西，就是句子“p?q”；所有断定p或者q的符号所共同的东西，就是句子“p?q”。
同样也可以说，如果两个句子没有任何共同的东西，那么它们就彼此对立。并且所有句子都只有一个否定，因为只有一个句子完全位于它之外。
比如，在罗素的记号系统中也很明显，“q?(p?~p)”说了与“q”相同的东西，并且“p?~p”什么都没有说。
5.514 记号系统一旦建立起来，其中就应该包含一种规则，用来确定如何构造否定p的所有句子，一种规则用来确定如何构造肯定p的所有句子，一种规则用来确定如何构造肯定p或者q的所有句子，如此等等。这些规则与符号是等价的，它们表现了符号的含义。
5.515 我们的符号必须表明，用“?”“~”等来连接的东西只能是句子。
的确如此，因为符号“p”和“q”本身已经预设了“?”“~”等。如果“p?q”中的记号“p”不代表复合记号，那么它本身也就不具备含义；但这样一来，记号“p?p”“p?p”等与“p”含义相同的记号，也就不具备含义了。而如果“p?p”没有含义，“p?q”也就不会有含义。
5.5151 构造否定句的记号时一定要用到肯定句的记号吗？为什么不能用否定事实来表达否定句呢？（比如，假定“a”与“b”之间并没有某种关系，那么这就可以用来说，情况并不是aRb）
但即使在这种情况下，否定句的构成也间接地用到了肯定句。
肯定句必定预设了否定句的存在，反之亦然。
5.52 如果ξ的值就是f(x)对x所取的所有值，那么N(ξ)=~?xf(x)。
5.521 我把所有这个概念与真值函项分开。
弗雷格和罗素利用合取或析取来引入普遍性。这样就难以理解式子“?xf(x)”和“?xf(x)”，其中包含的这两个概念。[46]
5.522 普遍性记号的特殊之处在于：第一，它表示一种逻辑原型；第二，它突出了常项。
5.523 普遍性记号是作为主目出现的。
5.524 给出了一个对象，所有对象也就给出了。
给出了基本命题，所有基本命题也就同时给出了。[47]
5.525 像罗素那样，用句式“f(x)是可能的”来解释式子“?xf(x)”，这是不正确的。[48]
一种情况是确定的、可能的，还是不可能的，这不是通过句子来表达的，而是通过重言式、有含义的句子，还是矛盾式的句子得以表达的。
人们一直想要参照的先例，肯定就在符号本身中。
5.526 可以用完全概括句来描述世界。在这种句子中，不需要先把名称与特定对象对应起来。
要回到常规的表达方式，只需要加上诸如“有且仅有一个x，它……”这样的表达式就行了。这里的x就是a。[49]
5.5261 完全概括句与所有其他句子一样，是复合的。（这表现在“?x??(?x)”式中，我们必须分别提到“?”和“x”。像在非概括句中一样，它们单独与世界建立存在关系。）
复合性符号的一个典型特征是，它与其他符号共有部分。
5.5262 每个句子的真或假都会对世界的一般结构带来某种改变。基本命题的总体为这种结构留下的自由度，恰好为完全概括句所限定。
（如果一个基本命题为真，那么不管怎样，都会有不止一个基本命题为真。）
5.53 对象的等同我用记号上的等同表达，而不是用表示等同的记号表达。对象上的不同，则用记号上的不同表达。
5.5301 等同明显不是对象之间的关系。考虑比如“?x[f(x)?x=a]”这样的句子，这一点就会清楚起来。这个句子所说的只是，只有a满足函项f，而不是说，只有与a有某种关系的对象满足函项f。
当然有人会说，只有x与a有这种关系。但是，为了表达这一点，我们又要用到等同记号本身了。
5.5302 罗素对“=”的定义是不恰当的，因为按照那个定义我们不能说两个对象共享所有性质。[50]（即使这个句子从来不是真的，它也还是有含义的。）
5.5303 粗略地说，说两个东西等同，这无意义，而说一个东西与自身等同，则什么都没有说。
5.531 因此我不写“f(a, b)?a=b”，而是写“f(a, a)”（或者“f(b, b)”）。不写“f(a, b)?~a=b”，而写“f(a, b)”。
5.532 同理，我也不写“?x?y(f(x, y)?x=y)”，而是写“?xf(x, x)”；不写“?x?y[f(x, y)?~x=y]”，而是写“?x?yf(x, y)”。
（于是，罗素的“?x?yf(x, y)”就变成“?x?y[f(x, y)??xf(x, y]”）
5.5321 进而，比如不写“?x[f(x)?x=a]”，而是“?x[f(x)?f(a)]?~?x?y[f(x)?f(y)]”。
句子“只有一个x满足f(x)”则应当读作“?xf(x)?~?x?y[f(x)?f(y)]”。
5.533 这样，等号就不是逻辑记号系统中有实质性意义的部分了。
5.534 于是就可以明白，在正确的记号系统中，像“a=a”“(a=b?b=c)?(a=c)”“?x(x=x)”“?x(x=a)”这样的伪命题根本就写不出来了。
5.535 所有与这类伪命题联系在一起的问题，于是也就都消失了。
这里也就可以解决罗素的“无穷公理”带来的所有问题。[51]
无穷公理想要说的东西，都可以通过在语言中存在不同指称的无穷多名称体现出来。
5.5351 有些情况会引诱我们使用像“a=a”“p?p”这类形式的表达式。其实这会在我们谈论原型、句子以及事物等时发生的。比如在罗素的《数学的原则》中，“p是句子”（这样说并无意义）就被写成符号形式“p?p”，并作为一个前提被置于某些句子前面，以防止其主目位置为句子以外的东西所占据。[52]
（为确保主目有正确的形式，把前提“p?p”置于句子前面，这样做是无意义的。这只是因为，当句子以外的东西成为主目，这个前提就不是假的，而是无意义的，而句子本身也会因为主目种类不对而变得无意义。因此，这与一个空洞的前提一样，不能用来排除错误的主目。）
5.5352 同样，也有人希望用“~?x(x=x)”来表达“不存在事物”。但即便这是一个句子，如果实际上“存在事物”，但这些事物都不与自身等同，那么这个句子不也是真的吗？
5.54 就一般形式来说，句子只有作为真值操作的基础，才会出现在其他句子中。
5.541 初看起来，好像还有其他方式让一个句子出现在另一个句子中。
尤其是在心理学中，会有像“A相信实际情况是p”“A设想p”等这样的句子形式。
表面上看，这就像一个句子p与一个对象A之间有种关系。
（在现代知识论（罗素、摩尔等）中，这些命题实际上就是这么解释的。[53]）
5.542 然而很清楚，“A相信p”“A设想p”“A说p”，这些都具有“‘p’说p”的形式。这里我们看到的不是一个事实和一个对象的关系，而是事实之间的关系。这种关系是通过它们在对象上的关联建立的。
5.5421 这表明没有在当今肤浅的心理学中所设想的像灵魂（主体等）之类的东西。
复合的灵魂其实不算灵魂。
5.5422 对“A判断p”这种句子形式的正确解释，应当表明判断不可能是无意义的（罗素的理论不满足这个要求[54]）。
5.5423 设想一个复合物，就是要设想它的构成部分以如此这般的方式结合在一起。
这很好地解释了，对下列图形为何会有两种方式把它看作立方体（所有类似现象也都可以解释）。因为我们的确看到了两个不同的事实。
（如果我先看标了a的各个角，而只用余光看标了b的那些角，那么标了a的角就显出是在前面，反过来就显出在后面。）
5.55 我们现在必须先验地回答关于基本命题的所有可能形式的问题。
基本命题是由名称构成的。如果不能确定有多少指称不同的名称，我们也就不能确定基本命题是如何构成的。
5.551 我们的基本原则是，任何问题，只要终究可以在逻辑上决定，那就一定无须多费神，立即就能决定。
（如果到了不得不查看一下世界才能回答这种问题的地步，那就表明我们的方向完全错了。）
5.552 为了理解逻辑所需要的“经验”不是某些情况是怎样的，而是某种东西存在。但这不是一种经验。
逻辑先于任何经验，那些经验是说某个东西是这样的。
它先于“如何”，而并不先于“什么”。
5.5521 如果不是这样，那逻辑又能如何使用呢？可以这么看，如果说，即便没有世界也会有逻辑，那么，何以可能会因为有了世界才会有一种逻辑呢？[55]
5.553 罗素说过，在各种数目的事物（个体）之间存在着简单的关系。[56]但是，在什么数目之间呢？怎么能够确定这一点呢？通过经验吗？
（并没有地位特殊的数。）
5.554 确定一种特定的形式，这是一件纯属任意的事情。
5.5541 应该可以先验地回答，比如说，我是否需要一个二十七元的关系记号来表示某个东西。
5.5542 但是，连这样的问题也是合法的吗？我们有可能弄出一种记号形式，却又不知道有没有东西与之对应吗？
为了让某件事发生，必须有什么东西存在，这个问题有意义吗？
5.555 显然，我们拥有关于基本命题的概念，而不牵涉其特定的逻辑形式。
只要有逻辑系统可以让我们建立符号，那么对逻辑来说重要的就是系统，而不是个别符号。
在逻辑中我的任务怎么可能是对付那些我可以自己制定的形式呢？我必须对付的肯定是让我的制定成为可能的东西。
5.556 对基本命题的形式来说，是不可能存在等级系统的。我们所能预见的只是我们自己构建的东西。
5.5561 经验实在为对象的总体所限定。这种界限也通过基本命题的总体体现出来。
等级系统独立于并且必须独立于实在。[57]
5.5562 如果纯粹在逻辑的基础上知道必须有基本命题，那么任何人，只要理解了句子未加分析的形式，也就应该知道这一点。
5.5563 我们的日常语言在逻辑上实际上是完全有序的。——我们这里所要表述的极简单的东西，不是真理的一种仿品，而完完全全是真理本身。
（我们的问题不是抽象的，而或许是所有可能的问题中最为具体的）
5.557 逻辑的使用决定了有什么基本命题。
逻辑不能预先决定自己会被如何使用。
逻辑显然不能与其使用相冲突。
但逻辑必须与其使用相接触。
因此，逻辑与其使用不应该彼此重叠。
5.5571 如果不能先验地给出基本命题，那么试图给出它们就会导致显然的无意义。
5.6 我的语言的界限意味着我的世界的界限。
5.61 逻辑遍布世界。世界的界限也就是逻辑的界限。
因此在逻辑中我们不能说：“世界中有这个，有这个，但没有那个。”
因为这看起来就预设某些可能性被排除了，而这不可能。因为这就要求逻辑超出世界的界限，只有那样才能从另一边来看界限。
我们不能想我们不能想的东西，因此不能想的我们也不能说。
5.62 这样说就在“唯我论在多大程度上是真的”这个问题上启发了我们。
唯我论想说的其实很对，只是不能说出来，而是自己显示出来。
世界是我的世界，这体现在，这种语言（我所理解的唯一语言）的界限意味着我的世界的界限。
5.621 世界和生命是同一个东西。
5.63 我就是我的世界（小宇宙）。
5.631 思考的主体、描述的主体，这些东西是没有的。
如果写一本题为《我所发现的世界》的书，我就会在书中描写我的身体，并说明哪些部分服从我的意志，哪些部分不服从。这种方法与其说是在区分出主体，倒不如说是在一种重要的意义上说明没有主体。因为，唯独主体是书中不能提的。
5.632 主体不属于世界，而是世界的界限。
5.633 在世界中，哪里才能找到形而上学主体呢？
你会说，这完全就像眼睛和视野的情况。的确，你看不到眼睛。
你不能从视野中的任何东西，推论出那是眼睛所看到的。
5.6331 因为，视野的形式肯定不是这样的：
5.634 与之相联系，我们经验中没有哪个部分同时也是先验的。
我们所看到的所有东西都可能是其他样子的。
所有能够描述的东西都可能不是实际的那种情况。
事物没有先验的秩序。
5.64 从这里可以看出，严格贯彻的唯我论与纯粹的实在论相重合。唯我论的自我缩成一个没有大小的点，与之对应的实在则保留了下来。
5.641 哲学的确能在一种意义上以非心理学的方式谈论自我。
自我是通过“世界是我的世界”这个事实进入哲学的。
哲学的自我不是人，不是人的身体，也不是心理学所研究的人类灵魂，而是形而上学－自我；是世界的界限，而不是世界的一部分。
6 真值函项的一般形式是[p, ξ, N(ξ)]。
这就是句子的一般形式。
6.001 这恰恰是在说，所有句子都是对基本命题迭代运用操作N(ξ)的结果。
6.002 确定了构建句子的一般形式，也就随之确定了可以利用操作从一个句子产生另一个句子的一般形式。
6.01 于是，操作Ω(η )的一般形式就是[ξ, N(ξ)](η )=[η , ξ, N(ξ)]。
这就是从一个句子到另外一个句子的转换所采取的最为一般的形式。
6.02 我们可以这样过渡到数。我定义如下：
x=Ω0'x Def.
Ω'Ων'x=Ων+1'x Def.
按照这种用来处理记号的规则，我们把序列
x, Ω'x, Ω'Ω'x, Ω'Ω'Ω'x, …
写成如下形式：
Ω0'x, Ω0+1'x, Ω0+1+1'x, Ω0+1+1+1'x, …
这样，我就不用“[x, ξ, Ω'ξ]”，而是用“[Ω0'x, Ων'x, Ων+1'x]”。
我还这样定义：
0+1=1 Def.
0+1+1=2 Def.
0+1+1+1=3 Def.
如此等等。
6.021 数就是操作的指数。
6.022 数的概念就是所有数共同的东西，即数的一般形式。
数的概念就是数变元[58]。
数之间相等的概念，是数之间相等的所有具体情况的一般形式。
6.03 整数的一般形式是[0, ξ, ξ+1]。
6.031 在数学中，关于类的理论是完全多余的。[59]
相应地，数学所需要的普遍性也不是偶然的普遍性。
6.1 逻辑命题是重言式。
6.11 因此，逻辑命题什么也没有说（它们是分析的命题）。
6.111 一种理论要是让逻辑命题显得像有内容，那么这种理论就是错误的。比如，有人会认为“真”和“假”像其他词一样，表示两种性质，这样一来，说所有句子都要拥有其中一种性质，就显得不寻常了。按这种理论，你根本看不出来是不是这样，这就像“所有玫瑰花要么是黄的要么是红的”这样的句子一样，即使它是真的，你也完全看不出来。逻辑命题变得和自然科学的命题一模一样，这其实是个确凿的信号：我们理解错了。
6.112 对逻辑命题的正确解释，必定让它们在所有命题中占据一个独特位置。
6.113 逻辑命题的标志性特征是，从符号本身就可以看出它们是真的。单单这个事实，就包含了整个逻辑哲学。同样极为重要的是，非逻辑命题的真假不能从句子本身看出。
6.12 逻辑命题是重言式，这显示着语言以及世界的（形式）逻辑性质。
其构成成分按照这种特定的方式连接就构成重言式，这揭示了这些构成成分的逻辑。
为了让句子以特定方式连接以构成重言式，这些句子必须具备特定的结构特征。因此，它们这样连接得到了重言式，这表明它们具备了这些结构特征。
6.1201 比如，句子“p”与“~p”连接而成的“~(p?~p)”是重言式，这表明它们彼此矛盾。句子“p?q”“p”以及“q”连接成的“((p?q)?p)?q”是重言式，表明q是从p以及p?q中推出来的。“?xf(x)?f(a)”是重言式，表明f(a)是从?xf(x)中推出来的。
6.1202 显然，用矛盾式而不是重言式，可以达到同样目的。
6.1203 在没有概括记号的情况下要识别重言式，可以使用下面这种直观性的方法：
用“TpF”“TqF”“TrF”等等来替换“p”“q”“r”，真值组合则用括号来表示，例如：
整个句子的真假与真值主目的真值组合之间的对应关系，则用直线表示，例如：
这个图表示的是句子p?q。现在，我想通过例子来看句子~(p?~p)（矛盾律）是否重言式。按我们的记号法，“～ξ”这种形式写成：
而“ξ?η ”这种形式则写成：
因此，句子~(p?~q)就成为：
如果用“p”来替换其中的“q”，看最外层的T和F怎样与最内层的联系起来，结果就是主目的所有真值组合都对应于整个句子的真，而没有一个真值组合对应于假。
6.121 逻辑命题表现句子逻辑特性的方式是，把若干句子连接起来，构成一个什么都没有说的句子。
这种方法也可以叫作零度法。在一个逻辑命题中，各个句子彼此平衡，这种平衡状态表明这些句子必须具备什么逻辑构造。
6.122 由此可见，我们实际上可以不要逻辑命题。因为在记号法合适的条件下，只检查句子本身，我们实际上就可以辨别出句子的形式性质。
6.1221 比如，如果“p”和“q”这两个句子连接到“p?q”中构成重言式，那么q显然就是从p推出的。
比如，从两个句子本身就可以看出“q”是从“(p?q)?p”中推出的。不过这一点也可以用另一种方式显示出来，我们用它们构成“[(p?q)?p]?q”这样的形式，然后表明它是重言式。
6.1222 这让我们得以理解，逻辑命题为什么既不能为经验所证实，也不能被经验推翻。逻辑命题不仅不能为所有可能的经验所推翻，而且不可能为所有可能的经验所证实。
6.1223 为什么我们会觉得“逻辑真理”是我们“设定”的，也就变得清楚起来。因为，只要可以设定恰当的记号法，我们就可以设定逻辑真理。
6.1224 为什么逻辑被称为关于形式和推理的理论，这也清楚了。
6.123 显然，逻辑律本身不可能也服从于逻辑律。
（并不是像罗素所想的那样，每个“类型”都会有一种特殊的矛盾律。一个矛盾律就够了，因为它不会运用于它自身。[60]）
6.1231 逻辑命题的标志不是普遍性。
普遍性仅仅意味着偶然地对所有东西都有效。非概括句与概括句一样可以是重言式。
6.1232 逻辑的普遍有效性可以被称为本质性的普遍有效性，以区别于像“所有人都是有死的”这类句子的偶然的普遍有效性。罗素的“可还原公理”[61]之类的句子不是逻辑命题，这就解释了为什么我们会觉得，即使这类句子是真的，那也只是偶然和运气。
6.1233 可以设想可还原公理在一个世界中无效。然而，逻辑与世界实际上是这样的还是那样的显然没有任何关系。
6.124 逻辑命题描述了世界的脚手架，或者说是展现了它。这些命题不“处理”任何东西。它们预设名称有指称，基本命题有含义，这就构成它们与世界的联系。显然，作为本质上就具备了某些特性的东西，符号通过特定连接构成重言式，这件事必定对世界有所揭示。决定性的一点就在于此。我们已经说过，我们使用的符号中有些东西是任意的，有些东西不是。在逻辑中只有后面那种东西得到表达，而这意味着，在逻辑的领域中，不是我们借助记号来表达想表达的东西，而是记号的具有本质必然性的本性自己在表达自己。只要知道任何一种记号语言的逻辑句法，那么所有的逻辑命题也就已经给定了。
6.125 即使是按照以前对于逻辑的理解，事先就描述所有“真的”逻辑命题，这也是可能的。
6.1251 因此，逻辑中从来不会有意外的东西。
6.126 通过对符号的逻辑性质进行运算，可以确定一个句子是否属于逻辑范畴。
在“证明”逻辑命题时我们做的就是这件事。不用劳烦考虑含义或指称，只需要借助记号规则，我们就可以从其他句子构造出逻辑命题来。
证明一个逻辑命题，其实就是通过迭代运用某些操作，来从其他重言式产生要证明的命题。而这些操作如果从重言式开始，就总是产生重言式。（实际上，从重言式推出的只能是重言式）
这种显示逻辑命题是重言式的方法，对逻辑来说当然不是本质性的了。这只是因为，作为开端的那些重言式不经过证明肯定就能表明是重言式。
6.1261 在逻辑中，过程与结果是等价的。（因此不会有意外）
6.1262 逻辑证明只是在情况复杂时用于识别重言式的机械手段。
6.1263 如果利用逻辑的手段不仅能够从有意义的句子证明有意义的句子，而且也能够证明逻辑命题，那就太奇怪了。从一开始就很清楚，对有意义句子的逻辑证明，和在逻辑中证明一个句子，肯定完全是两回事。[62]
6.1264 有意义的句子陈述某件事，而对句子的证明则表明，事实就是如此。但是，在逻辑中任何句子都是一种证明的形式。
所有逻辑命题都是以记号形式出现的肯定前件推理。（不能用句子来表达肯定前件推理）
6.1265 总是可以把逻辑理解成，所有句子都是自己的证明。
6.127 所有逻辑命题都地位平等，没有哪个本身就是初始命题，而其他则属派生。
所有重言式自己就表明自己是重言式。
6.1271 显然，“初始逻辑命题”的数目是任意的，因为可以从单个初始命题导出逻辑，这个初始命题就是弗雷格的初始命题构成的合取。（弗雷格可能会说，这样就不会有直接自明的初始命题了。然而，像弗雷格那样严格的思想家还在用自明性的程度来充当逻辑命题的标准，那可是一件怪事。[63]）
6.13 逻辑不是理论，而是世界的镜像[64]。
逻辑是超验的（transzendental）。
6.2 数学是一种逻辑方法。
数学命题是等式，因此只是伪命题。
6.21 数学命题并不表达思想。
6.211 生活中数学命题从来不是我们所需要的东西。只是在从不属于数学的句子到同样不属于数学的句子的推理中，我们才用到数学命题。
（在哲学中问，“实际上我们出于什么目的要用这个词或这个句子”？这总是会通向有价值的见解。）
6.22 世界的逻辑，这在逻辑命题中通过重言式表现，在数学中则是通过等式表现的。
6.23 两个表达式由等号连接，这表示它们可以彼此替换。但是否真能替换，则一定要由两个表达式本身表现出来。
如果两个表达式可以互相替换，这样连接就刻画了它们的逻辑形式。
6.231 能够解释成双重否定，这是肯定的一个性质。
能够解释成“(1+1)+(1+1)”，是“1+1+1+1”的一个性质。
6.232 弗雷格说，这两个表达式指称相同而含义不同。[65]
但关于等式，有本质意义的一点是，为了表明用等号连接的两个表达式有相同的指称，等式本身是不必要的。因为等式是否成立，可以从两个表达式本身中看出来。
6.2321 数学命题是可以证明的，这仅仅意味着，不必将其所表达的内容与事实相比较，这些命题的正确与否就能够看出来。
6.2322 两个表达式指称相同，这是不能加以断定的。因为，为了能够对其指称有所断定，我必须知道其指称；但我不可能知道其指称，而不知道其指称是否相同。
6.2323 等式只是标出了我看待两边表达式的角度，在这个角度上我看出它们的指称相同。
6.233 对于问题“解决数学问题是否需要直觉”，必须回答道，“在这种情况下语言本身会提供必要的直觉”。
6.2331 计算过程的目的，就是促成这种直觉。
计算不是做实验[66]。
6.234 数学是一种逻辑方法。
6.2341 数学方法的本质就在于用等式来工作。因为这种方法就决定了所有数学命题都必须是不言自明的。
6.24 数学中用来获得等式的就是替换方法。
等式表达了两个表达式的可替换性。我们从若干等式出发，依据等式来把一些表达式替换成另一些表达式，从而得到新的等式。
6.241 例如，对命题2×2=4的证明是这样的：
(Ων)μ'x=Ων×μ'x Def.
Ω2×2'x =(Ω2)2'x=(Ω2)1+1'x
=Ω2'Ω2'x=Ω1+1'Ω1+1'x=(Ω'Ω)'(Ω'Ω)'x
=Ω'Ω'Ω'Ω'x=Ω1+1+1+1'x=Ω4'x.
6.3 逻辑研究的领域涵盖了所有服从定律的东西。逻辑之外的一切都是偶然的。
6.31 所谓的归纳律不可能是逻辑定律，因为表达它的句子显然不是空洞的。——因此它也不可能是先验的定律。
6.32 因果律不是定律，而是定律的一种形式。
6.321 “因果律”是一个通名。在力学中有比如像最小作用量定律这样的“极小原则”，同样，在物理学中也有因果律，即一些具有因果形式的定律。
6.3211 甚至在不知道具体内容的情况下，人们其实也预感到，一定会有某种“最小作用量定律”。（在这儿，其实向来如此，先验的确定性被证明是某种纯粹逻辑的确定性）
6.33 我们不是先验地相信守恒律，而是先验地知道一种逻辑形式是可能的。
6.34 包括充足理由律、自然的连续律以及最省力原则等在内的这些句子，都表达了对于科学命题可以采取何种形式的先验直觉。
6.341 比如，牛顿力学就为我们对世界的描述赋予了统一的形式。设想一个白色表面，上面有不规则的黑色块。不管这些色块形成什么图案，我都可以加以描述，并且要多接近就有多接近。方法是，在表面上覆盖网眼足够细的网，并说明每一个网格是黑的还是白的。这样我就为关于这个表面的描述赋予了一种统一的形式。用三角形网眼的网和用六边形网眼的网，我都可以达到同样的效果，因此形式是可以选择的。用三角形网眼也许让描述更加简单些，也就是说，用网眼更粗的三角形网，可能比用更细的正方形网描述得更加精确些（或者反之）。不同的网对应描述世界的不同系统。力学通过规定，所有用来描述世界的句子都必须按某种方式从一组句子（即力学公理）中得出，由此确定了描述世界的一种形式。这样它就为建造科学大厦提供了砖块，并且说：“你要建造的所有建筑物，不管是什么，都必须想办法用这些砖块来建，并且只能用这些来建。”
（用数的系统我们肯定可以写下任何想写的数，同样，用力学系统，我们也一定能够写下任何想写的物理学命题。）
6.342 由此我们可以看到逻辑和力学的相对位置。（我们可以用不止一种形状的网格来做成网，比如同时用三角形和六边形。）像前面提到的，可以用特定形式的网来描述图案，这本身对于图案来说并不说明什么（因为对所有图案来说都是如此）。但是，能够用有特定大小网眼的网完全地描述一个图案，这真的表明了图案的特征。
同样，可以用牛顿力学来描述世界，这对世界来说也并不说明什么；对世界有所说明的，是用这些手段可以这样描述世界。用一个力学系统可以比另一个系统更简单地描述世界，这个事实也表明了世界的某种特征。
6.343 力学是一种尝试，它希望按照一个单一的计划，来构建描述世界所需要的所有真句子。
6.3431 物理定律，透过那一整套的逻辑装置，终究还是谈到了世界中的对象。
6.3432 一定不要忘了，力学对世界的描述总是完全一般性的。比如，其中从来不提到特定质点，而只是谈论任意质点。
6.35 尽管图案上的色块是几何图形，几何显然并不包含关于这些色块实际形状和位置的内容。不过，网格是纯几何的，它的所有性质都可以先验地给出。
像充足理由律之类的定律，关心的是网，而不是网所描述的东西。
6.36 如果有因果律，那就应该这样表述：“存在自然律”。
然而当然，那是不能说的，它显示自己。
6.361 用赫兹的方式来说就是，只有服从于定律的联系才是可以思考的。[67]
6.3611 我们不可能把一种过程与“时间的流动”相比较，因为没有这种流动，只能将其与另外一个过程，比如计时器的运转相比较。
因此，只有依靠其他某个过程，我们才能描述时间进程。
类似的情况也出现在空间上。比如，人们说，对两件事（它们彼此排斥）来说，如果没有原因导致其中一个而不是另一个发生，那么两个就都不会发生。问题其实在于，如果没有某种不对称性出现，我们就不能描述两件事中的一件。而如果有这种非对称性，我们就可以将其当作一件事发生而另外那件事不发生的原因。
6.36111 康德关于左右手不可能重合的问题，也存在于二维的情况。它甚至在一维空间中也存在。下面两个全等的图形a和b，就不可能在不移出这个空间的前提下重合。[68]
左手和右手实际上是全等的，但它们不能重合，这是另一回事。
如果能够在四维空间中翻转一下，右手手套是可以戴到左手上的。
6.362 能够描述的就能够发生，而因果律所排除的东西是不能够描述的。
6.363 使用归纳就相当于接受能够与我们的经验相协调的最简单的定律。
6.3631 但归纳法没有逻辑依据，只有心理学上的依据。
显然，没有理由让我们相信最简单的事件进程真的会实现。
6.36311 太阳明天会升起，这是一个假定。这就是说，我们并不知道它会升起。
6.37 因为一件事发生另一件事也要发生，这种必然性是不存在的。只存在逻辑的必然性。
6.371 整个现代世界观都建立在一个幻觉上，以为所谓的自然律是对自然现象的解释。
6.372 于是人们止步于自然律面前，以为它们是不可侵犯的东西，就像古代人对待神和命运一样。
他们和古代人其实都对，又都不对。只不过古代人更加明白些，他们承认有一个清楚的终点；而现代的系统则把事情弄得好像一切都得到了解释。
6.373 世界独立于我的意志。
6.374 即使我所希望的所有事情都发生了，这也只能说，比如这是命运的眷顾。因为在意志与世界之间没有一种逻辑的联系能够保证这一点，而一种假想的物理性的联系我却又不能指望。
6.375 只有逻辑的必然性，同样，也只有逻辑的不可能性。
6.3751 比如，视野中同一个位置同时有两种颜色，这是不可能的，并且是在逻辑上不可能，因为它为颜色的逻辑结构所排除。
想想这种矛盾在物理学中是如何体现出来的。大体是这样的，一个粒子不可能同时有两个速度，也就是说，它不可能同一时刻在不同位置；这意味着，同一时刻在不同位置的不可能是同一个粒子。
（两个基本命题的合取显然既非重言式也非矛盾式。断定视野中的一个点同时有两种不同的颜色，这是一个矛盾。）
6.4 所有句子都具有同等价值。
6.41 世界的意义必定在世界之外。在世界中，一切都那样存在，那样发生。在世界之内没有价值存在——即使有价值存在，它也没有价值。
如果有种价值是有价值的话，它一定在事实和发生的领域之外。因为，所有的事实与发生都是偶然的。
使其成为非偶然的东西不可能在世界之内，因为如果是的话，那又是偶然的了。
它一定在世界之外。
6.42 因此，也不可能有伦理学命题。
句子不可能表达任何更高的东西。
6.421 显然，伦理学是不可能表达出来的。
伦理学是超验的。
（伦理学和美学是同一回事。）
6.422 当“你应当……”这种形式的伦理律制定出来时，人们首先想到的是，“如果我不这样，那又怎样”？但伦理学明显与通常意义上的惩罚和奖励没有关系。因此，关于行为后果的问题肯定是不重要的。至少这种后果不应当是发生的事情，因为我们所提的问题中还是有些对的东西。肯定还是有某种伦理的奖赏和惩罚，只不过应该是在行为本身之中。
（显然，奖励应该是某种合意的东西，而惩罚则是不合意的。）
6.423 作为伦理主体的意志是不能谈论的。
作为现象的意志则只有心理学感兴趣。
6.43 如果好的或坏的意志改变了世界，那改变的也只能是世界的界限，而不是事实，不是可以用语言表达的东西。[69]
总之，世界肯定会整个不同起来。可以说，这肯定是一种整体上的兴衰。
幸福的人与不幸的人不是活在一个世界中。
6.431 至于在死亡的时候，世界不是变了，而是停止了。
6.4311 死，这不是生命的事情。人不会活过死亡。
如果不把永恒理解为时间的无穷延续，而理解为无时间性，那么永恒的生命就属于活在当前的人。
正如视野没有边界，生命没有止境。
6.4312 灵魂在时间意义上的不死，或者说，死后的永生，这不仅是绝无任何保障的，而且这个想法一开始就完全没有起到我们要它起的那种作用。困惑会因为我们的永生而解决吗？永恒的生命不和当前的生命一样，也是一个谜吗？时空之内的生命之谜，其解决在时空之外。
（要解决的当然不是自然科学问题）
6.432 世界是怎样的，这对更高的存在来说完全无关紧要。神不在世界中显身。
6.4321 事实只构成问题，不构成解决。
6.44 神秘的不是世界是怎样的，而是它存在。
6.45 从永恒的观点看世界，就是把世界看作一个整体，一个有限的整体。
感觉到世界是有限的整体，这才是神秘的。
6.5 如果答案是不能表达的，问题也就不能表达。
谜是不存在的。
如果问题终究还是能够提出，那么解答也就是可能的。
6.51 怀疑论不是不能驳斥，而是显然的无意义，因为它要在没有问题可以问的地方提出怀疑。
因为怀疑只能存在于有问题的地方，问题只能存在于有答案的地方，答案则需要有东西可以说。
6.52 我们觉得，即使所有可能的科学问题都得到回答，生命的问题还是完全没有触及。当然，那时也就没有问题留下来了，而这本身就是回答。
6.521 从问题的消失中，你会看到对生命问题的解决。
（从这儿不就可以看到，人们在经历了漫长的怀疑之后终于弄清生命的意义何在，在被问起时为什么却又不能说清这种意义是什么吗？）
6.522 的确有不可表达的东西。它自己显示出来。它就是神秘的东西。
6.53 在哲学中正确的方法是这样的：只说可以说的东西，即自然科学命题，而这是与哲学无关的句子；同时要坚持，只要有人要说起形而上学的东西，就向他说明，他没有赋予句子中的某些记号以意义。对其他人来说这种方法可能不让人满意，他不会觉得这是在教哲学，然而，这是唯一在严格意义上正确的方法。
6.54 我所说的句子在这样一种意义上是阐明性的：任何人，只要他理解我，当他以这些句子为踏板，攀上去并越过它们，最终就会认识到这些句子是无意义的。（这么说吧，在爬上去以后他得丢掉梯子。）
他必须翻越这些句子，才能正确地看到这个世界。
7 对不可说的，我们必须报以沉默。
[1]原注：分行列出的各个句子前加了十进制的数字作为编号。这些编号表示各个句子在逻辑上的重要性，以及在我的解说系统中的位置。比如，标有n.1、n.2、n.3等编号的句子是第n号句子的注解，而第n.m1、n.m2编号的句子则是对n.m号句子的注解。
[2]关于“事态”一词的翻译，参见译后记。
[3]维特根斯坦赋予“内在性质”“内在关系”以及“外在性质”“外在关系”以专门意义，对此的正面解释参见4.122－4.1241。
[4]“基体”一词来自亚里士多德，通常译为“实体”。由于维特根斯坦对这个词的用法不同于亚里士多德式的形而上学用法，不能说对象包含在本体论中，故而译为“基体”，以示区别。
[5]在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦用了两个词语来区分意义这个概念，一个是“Sinn/sense”，另一个是“Bedeutung/meaning/reference”。对后者的解释在3.203，关于两者的区分，参见3.3。
在需要区分或者可以区分时，我们分别将其译为“含义”和“指称”；而在无须区分或者不能区分时，就都译为“意义”。
[6]“句子”系依据德文词“Satz”译出。该词既有“句子”之意，又有“命题”之意。后者在哲学中有时用于比句子更加抽象的东西，比如句子所表达的内容本身，并且这样理解的内容可以在没有句子的情况下也存在。《逻辑哲学论》中并未承认有这种独立于句子的命题存在，故而一般将“Satz”译为“句子”。在需要照顾到汉语语感和惯常说法时，也会用“命题”来翻译。
[7]读者需注意记号（Zeichen）与符号（Symbol）的区别。关于“符号”的解释，参见3.31；符号与记号的区别，参见3.32－3.328。
[8]关于这一句的译法，参见译后记。
[9]在罗素的记号系统中，通常用“aRb”这样的符号来表示a和b之间有关系R。当代常用的方式则是“R(a,b)”。
[10]按照本书的编号方法，3.201－3应该是解说3.2中所使用的概念，因此括号中的这句话应该是在解释如何识别记号。其意思应该是说，按照外观和发音来判断是哪个记号。
[11]维特根斯坦对词意接近的德文词“unsinnig”和“sinnlos”做了区分。这两个词在英译本中分别被译为“nonsense”和“senseless”。本书中则沿用韩林合的译法，分别译为“无意义的”和“空洞的”。空洞的句子可以有意义，比如重言式，而无意义的句子连空洞都谈不上。请读者自行辨析这两个词的正面意义。
[12]原型在这里应该是作为部分确定的情况被提及的。“原型”一词的德文词为“Urbild”，意为“原始的图像”。但原型并非图像，而是本身体现了逻辑形式的图像要素。当把句子中的名称都换成变元，就得到了一个表明原型的式子。
[13]维特根斯坦虽然区分了含义与指称，但这种区别与弗雷格不同。弗雷格认为名称和句子都既有含义又有指称，而维特根斯坦则认为指称只能属于名称，含义只能属于句子。维特根斯坦在这一点上与罗素一致，认为句子的含义是句子结构性的特征，并且具有方向（3.144）。罗素关于句子含义的解释，参见Russell, Principles of Mathematics, Routledge, 1903/2010, §217; Russell, Theory of Knowledge: the 1913 Manuscript, ed. by Elizabeth Ramsden Eames, London and New York: Routledge, 1992, pp.86－89.
[14]维特根斯坦把变元的意义理解为变元的值所共有的东西，这与当代的变元概念是不同的。当代的变元概念来自弗雷格，一个变元就是一个占位符，它单独并不限制取什么值。
[15]如果一个变元在名称中取值，那它就是名称变元。
[16]最后一个例子的要点是物与事实之间的区分。物只能用名称表示，事实只能用句子来描述（参见3.144以及3.221），但在形式上都可以用“Etwas/something”这个词来谈论。这一点在汉语中只能以“事物”近似表现。
[17]这个例子的要点是，句子“Grün ist grün”中出现的两个“grün”是同音异义词。这一点在汉语中难以表现。
[18]毛特纳（Fritz Mauthner, 1849－1923）是一位德国剧评家和哲学家。他从一种语言观出发发展出了怀疑论。他认为，语言主要是服务于社会和文化实践，因而不能用于表现实在的认识论目的。但是，由于还相信语言对于人们获取知识来说是不可或缺的，他从对语言的这种不信任过渡到知识论上的怀疑论。维特根斯坦不认同这种怀疑论。
[19]“?”与“?”在乐谱中分别代表升调符号和降调符号。
[20]按照当代的逻辑观点，逻辑推理可以用于仅仅保证推理的有效性，而并不需要前提为真。这里维特根斯坦之所以强调，可以从假的前提得出结论，这应该是在回应弗雷格。弗雷格在早期接受这种观点，但在1910年之前的几年改变了想法，认为推理的前提只能是真的。维特根斯坦与之相识时，这个观点应该给他留下了印象。参见Posthumous Writings. ed. Hans Hermes, Friedrich Kambartel, and Friedrich Kaulbach. trans. Peter Long and Roger White. Chicago: University of Chicago Press, 1979, p.180; 261.
[21]“Ambulo”在拉丁文中表示“我步行”，而“Ambulas”则表示“你步行”，“Curro”意为“我奔跑”。
[22]“Alg”当为德文词“普遍性”（Allgemeinheit）一词的缩写形式。
[23]本书中出现的“概括”一词都是从逻辑上讲的，在这种意义上，概括就是使用量词（全称量词和存在量词）。含有量词的句子就是概括句。
[24]在弗雷格的逻辑系统中，一个判断就是断定某个命题是真的。如果命题仅仅是作为内容被给出而未被断定，那就被称为一个“设定”。在推理中，一个命题如果不是其他命题的成分，那就总是以被断定为真的方式出现，在弗雷格的系统中就要加上断定符“?”。故而有命题的动词是“是真的”一说。当代数理逻辑中仍然沿用断定符。关于断定符的进一步评论，参见4.442。
[25]关于这一部分的解释，可参见译后记。
[26]在弗雷格和罗素的数学基础研究中，数都是通过“后继”定义的。直观地说，在一个序列中，如果一个项位于另外一个项后面（“后面”这个概念通常用可以传递的非对称关系来定义），那么它就是后面那个项的后继。
[27]在弗雷格那里，“概念”一词不同于我们通常所说的概念，而是谓词所指的东西，它对应于性质或关系，但不等于性质和关系。比如，在“苏格拉底是要死的”这个句子中，谓词“是要死的”所指称的就是概念。弗雷格意义上的概念在维特根斯坦这里被称为“真正的概念”，但不是形式概念。在本书中，“概念”一词有时在这种专门意义上使用，有时又用于一般意义。请读者自行分辨。
[28]“旧的逻辑”应当是指弗雷格和罗素所建立的数理逻辑。
[29]在弗雷格那里，如果一个对象具备与一个概念相对应的性质，就称这个对象“落于这个概念之下”。比如，如果苏格拉底是要死的，那么苏格拉底就落于“要死的”这个概念之下。
[30]在弗雷格那里，谓词，也就是指称概念的词，也被称为“概念词”。
[31]在弗雷格和罗素那里，“类”指可以用谓词来加以定义的集合。函项和类均是需要用谓词来确定的。这里是在说弗雷格和罗素允许用普通谓词来表达形式概念。比如用“是一个复合物”这样的谓词来说aRb是一个复合物。但在维特根斯坦这里但复合物是一个形式概念，因而不能用谓词来确定或表达。
[32]在一个逻辑系统中，初始概念是那些不加定义的概念，其他概念都是用初始概念定义的。按照罗素的逻辑哲学，落于初始概念之下的对象必须被承认是存在的。这样，其他概念的对象是什么，就可以用这些已经存在的对象来解释。
[33]就以弗雷格为例来说明。在《算术基础》第76节，弗雷格说明了b是a的后继（b和a都是数）是如何表达的。用非形式的方式来叙述大意就是，存在一个概念F和对象x，x落于F之下，b是落于概念F之下的对象的数，a则是“落于F之下但不是x”这个概念的数，在这种情况下，b就是a的（直接）后继。这个定义中使用了量词，因而是概括命题，同时也使用了表示形式概念的词来充当谓词。
[34]弗雷格对表达式和句子的意义区分了Sinn和Bedeutung，名称（即经过分析后充当主目的词语）的Bedeutung是其所指称的对象，句子的Bedeutung则是真值。后来他又把句子当作名称，故而把真值当作对象。
[35]这里所说的横线、竖线以及括号是指用真值表来定义真值函项的几种形式。前面的表格以及后面的4.442以及5.101给出的就是这种形式。这里所说的“逻辑对象”是出现在弗雷格和罗素那里的概念。在弗雷格那里是指通过逻辑的手段构造出来的对象，在罗素那里则是逻辑常项所指称的对象。这里应该主要针对罗素。罗素认为一些逻辑函项指称了对象，即与命题结合的性质或者关系。这是些实际存在的东西。
[36]参见4.063以及相应注释。
[37]关于“sinnlos”一词的翻译，参见3.24注释。
[38]“刚体”是力学术语，指不可变形的物体。刚体实际上是不存在的，是为了计算方便而假定存在的理想物体。
[39]“Beschreibung/description”在汉语文献中也被译为“描述语”，意为包含了描述性成分的、指称单个对象的名词词组。比如“太阳系最大的行星”就是一个摹状词。
[40]这一节提到了罗素的类型论。维特根斯坦认为不同的逻辑类型可以构成一个形式序列，其中每个类型都是形式序列中的一个项。罗素认为量词在用于不同类型的对象时意义是不同的。由于把逻辑命题理解为普遍命题，罗素不得不认为不同类型的命题适用于不同的逻辑命题，因此有多少逻辑类型，就有多少个矛盾律。但这显然很不方便，于是他又希望同样的普遍命题（特别是逻辑命题）同时适用于所有类型。