科学是人类心智发展的最后一步，可被视为人类文化最高、最具特色的成就。它是只有在特殊条件下才能得到优化、完善和发展的晚期成果。在伟大的古希腊思想家时代之前，在毕达哥拉斯学派和原子论者、柏拉图和亚里士多德之前，科学这一概念就其特定意义而言都是不存在的。在接下来的几个世纪里，这个最初的概念似乎被遗忘和淹没了，一直到文艺复兴时代才得以被重新发现和重建。在这之后，科学的大获全胜似乎是无可争议的。在我们的现代世界中，再也没有哪种力量可与科学思想的力量相媲美。它被视为人类一切活动的峰顶，是人类历史的最后篇章和人的哲学最重要的主题。
我们可能对科学的成果或它的基本原则有争议，但它的普遍作用似乎是不容置疑的。正是科学带给我们对一个恒定世界的信心。关于科学，我们可以引用阿基米德所说的话：“给我一个支点，我就能推动宇宙。”在流变不居的宇宙中，科学思想定位了支撑点，固定了不可动摇的支柱。在古希腊语中，甚至科学知识（episteme）这个词在词源上就衍生自意指“坚固”与“稳定”的词根。科学进程带来了稳定的平衡，使我们的知觉与思想的世界变得稳定和坚固。
但另一方面，科学并非在单枪匹马地执行这个任务。在我们的现代认识论中，无论在经验论派还是在唯理论派那儿，我们常会遇到这样一种观念：最早的人类经验材料是一种完全无序混乱的状态。甚至连康德在《纯粹理性批判》的前几章中似乎也是从这一假定出发的。他说，经验无疑是我们理解力的第一个产物，但它可不是一个简单的事实，而是质料和形式两个对立因素的复合物。质料因素是自我们的感官知觉中得到的，而形式因素则是由我们的科学概念来表示的。这些概念是纯粹智性的概念，它们赋予了各种现象以综合统一性。我们所说的对象的统一性，就是在综合我们杂多的感觉表征时的知觉的形式统一性。如果我们在杂多的直观中形成了综合统一性，这时且只有这时我们才说，我们认识了某个对象。[1]因此对康德来说，关于人类知识客观性的整个问题都与科学事实有着不可分割的联系。他的先验感性论所关注的是纯粹数学的问题，而他的先验分析则试图解释精确的自然科学的事实。
但人类文化哲学必须将知识客观性这个问题追溯至一个更遥远的源头。早在人生活在科学世界中之前，他就生活在一种客观世界里了。甚至在人找到他通往科学的途径之前，他的经验就不纯粹是一大堆杂乱无章的感官表达，而是一种有组织有条理的经验，并且具有明确的结构。但是，赋予这种世界以综合统一性的概念，与我们的科学概念既非同一类型也不在同一层面上。它们是神话的或语言的概念。如果我们分析这些概念，就会发现它们绝不是简单的或“原始”的。我们在语言或神话中发现的对各种现象作出的初始分类，在某种意义上比我们的科学分类要复杂精妙得多。科学始于对简明性的追求。简明性是真理的标志（Simplex Sigillum veri），而似乎这就是科学的基本标识之一。然而这种逻辑上的简明性只是终点而不是起点。人类文化萌芽于一种更错综复杂的心智状态。几乎所有的自然科学都要经历一个神话阶段。在科学思想史上，炼金术先于化学，而占星术先于天文学。科学只有通过引入一种新的衡量标准，一种不同的逻辑上的真理标准，才能超越这些初级阶段。科学宣称，只要人把自己局限在其直接经验的方寸天地里，局限在观察得到的事实的方寸天地里，就不会获得真理。科学致力于带给我们全面综合的认识，而不是去描述孤立离散的事实。但这种认识无法仅仅通过丰富我们的日常经验来获得，它需要一种新的整理原则，一种新的智性解释形式。语言是人类表达感官世界的第一次尝试，这一倾向是人类言语的基本特征之一。一些语言学家甚至认为有必要假设人具有一种特殊的分类本能，以便解释人类言语的事实和结构。奥托·叶斯柏森说：
人是一种分类动物：在某种意义上可以说，整个说话过程就是将在各方面都不相同的诸现象，根据所感知到的异同程度分成不同的类别而已。在命名过程中，我们看到同样根深蒂固且非常有用的倾向，就是识别相似处并以名字的相似来表达现象的相似。[2]
但是，科学在现象中寻求的不仅仅是相似性，而是有序性。我们在人类言语中发现的初始分类并没有严格的理论目的。只要物体的名称能使我们交流思想并协调我们的实际活动，它们就完成了它们的任务。它们具有目的论功能，此功能逐渐发展成为一种更客观的、“代表性”功能。[3]不同现象之间每个表面上的相似处都足以用一个共同名称来指称它们。在某些语言中，蝴蝶被称为鸟，鲸鱼被称为鱼。当科学开始其初步分类时，它必须纠正并克服这些表面上的相似性。科学术语不是随意创造的，它们遵循明确的分类原则。创造一套连贯系统的术语绝不是科学的附属品，而是科学固有且不可或缺的组成部分之一。当林奈（Linnaeus）出版其开山著作《植物哲学》时，他还得面对这样的反对：他在这里所给出的只是一种人为系统，而不是自然系统。但是所有的分类系统都是人为的。自然本身只包含个体和多样化的现象。但如果我们仅把这些现象归入类别概念和一般规律之下，我们就不可能描述自然的事实。每一个系统都是一件艺术作品，一种有意识的创造性活动的结果。即使后来那些有别于林奈氏系统的所谓“自然的”生物学系统，也不得不使用创新的概念成分。这些生物学系统的概念成分是建立在一般进化论的基础之上的。但进化本身并不仅仅是自然史的事实，而是一种科学假设，是我们对自然现象进行观察和分类的一种调控准则。达尔文理论开辟了一个更广阔的新视野，它对有机生命现象进行了更全面、更连贯的概述，但这绝不是对被林奈视为奠基步骤的林奈氏系统的否定。林奈很清楚，在某种意义上他只是创造了一套新的植物学术语。但他确信，这套术语集既有言语价值也有实在的价值。他说：“如果你不知道事物的名字，有关它们的知识就会死去。”
就这一点而言，语言和科学之间的连续性似乎不会断开。我们的语言名称和我们最早的科学名称可以被看作是同样分类本能的结果和产物。在语言中无意识地完成的分类，则是在科学过程中有意识地计划并有条理地进行的分类。在最初的阶段，科学仍然必须采用事物在普通言语意义上被使用的名称，它可以用它们来描述事物的基本成分或属性。在最早的希腊自然哲学体系中，在亚里士多德那里，我们发现这些普通名称仍然对科学思想有很大的影响。[4]但在古希腊思想中，这种力量不再是唯一或普遍存在的力量了。在毕达哥拉斯及早期的毕氏门徒那里，古希腊哲学发现了一种新的语言——数的语言。这一发现标志着我们近代科学概念的诞生。
天体运行，日升月落，季节更迭，这些自然事件中所存在的某种规律性和一致性，是人类最早的伟大经验之一。即使在神话思想中，这种经验也得到了充分的承认和独特的表达。在这里我们看到了关于自然的一般秩序观念的萌芽。[5]早在毕达哥拉斯时代之前，这种秩序不但用神话语词来描述也用数学符号来描述。在远至公元前3800年左右时期最早的古巴比伦占星术体系中，神话语言和数学语言以一种非常奇怪的方式相互渗透。不同星群间的区分以及黄道带十二区域的划分，都是由古巴比伦天文学家提出的。如果没有新的理论基础就不可能收获这些成果，但必须要有一种更具胆识的概括，才能创建出首个关于数的哲学。毕氏学派的思想家们最早把数设想为一种包含一切、真正具有普遍性的元素。数的使用不再仅局限于某种专门的研究领域，而是延伸到了全部存在领域。当毕达哥拉斯做出其第一个伟大发现时，当他发现音高取决于振动弦的长度时，对哲学及数学思想之未来方向起到了决定性作用的并非是这一事实，而是对这一事实的解释。毕达哥拉斯无法把这一发现看作是一种孤立的现象。最深奥的奥秘之一，那美之奥秘，似乎要在数这里被揭示出来了。对古希腊精神来说，美总是具有一种完全客观的意义。美就是真，它是实在之物的基本特征。如果我们在“音”的和谐中所感受到的美可被归因为一个简单的数的比，那么这正是数向我们揭示了宇宙秩序的基本结构。毕氏学派的一篇残篇说：“数，是人类思想的向导和主人。没有它的力量，一切仍将是混沌未明的。”[6]我们不是生活在真实的世界里，而是生活在错觉和虚幻的世界里。在数中，而且也只在数之中，我们才发现了一个可被理解的宇宙。
认为这种宇宙是一种新的话语宇宙，认为数的世界是一种符号世界，这是一个与毕氏学派思想家的哲理完全相异的观念。在这里跟在其他任何情况下一样，符号和对象之间不存在任何明显的区别。符号不仅解释了对象，而且明确地代替了对象。万物不仅与数有关，或可用数来表达，而且万物皆为数。但如今我们不再坚持毕氏学派这种关于数的实体性实存的论点了，我们不再视数为实在性的真正核心。但我们必须承认，数是人类知识的基本功能之一，是客观化伟大进程中的必要步骤。虽然这一过程始于语言，但却在科学中呈现出全新的形态。因为数的符号体系与言语的符号体系是完全不同的逻辑类型。在语言中，我们发现了最早的分类尝试，但它们仍然不够协调一致，不能带来真正的系统化分类。这是因为语言符号本身没有明确的系统秩序，每个单独语言语词都有一个特殊的“意义范围”。正如加德纳所说，语词是“一束光，在一个句子意指的那个事物范围内，更确切地说是在一系列复杂且互相关联的事物所在的范围内，它首先照亮此范围的这一部分，然后照亮那一部分”。[7]但所有这些不同的光束没有一个共同的焦点，它们是分散且孤立的。在“杂多性的综合”中，每个新语词都有了新的开始。
可一旦我们进入数的领域，这种状况就完全改变了。我们不能谈论单个或孤立的数。数的本质总是相对的而非绝对的。一个单独的数在一般系统秩序中只是一个单独的位置。它没有它自己的存在，没有独立自具的实在性。它的意义取决于它在整个数列中所占的位置。自然数的系列则是个无穷多系列。但这种无穷多对我们的理论知识并无限制。它并不意味着任何不确定性，不是柏拉图意义上的“无限”（Apeiron），而是恰恰相反。在数的发展进步中，我们不会遇到外部限制，不会遇到一个“最后项”。我们在这里发现的是由于内在逻辑原则而导致的限制，而所有的项都由一种共同的纽带联系在一起。它们起源于同一种生成关系，这种关系把一个数n和它的直接后继数（n+1）连接起来。从这个非常简单的关系中，我们可以得出整数的所有属性。这一独特标志和这一系统最大的逻辑特权就是它的完全透明性。在我们的现代理论中，即在弗雷格和罗素的理论、皮亚诺和戴德金的理论中，数已经失去了它所有的本体论奥秘。我们认为它是一种强大的新符号体系，就所有科学目的而言，这种符号体系要比言语的符号体系优越得多。因为我们在这里发现的不再是孤立的语词，而是按照同一基本规划排列起来的项，因此它向我们展示了一个清晰而明确的结构规律。
尽管如此，毕达哥拉斯的发现仅仅只是自然科学发展的第一步。整个毕氏数论突然因为一个新事实而受到了质疑。当毕达哥拉斯派发现，在直角三角形中，对着直角的那条线与其他两条边没有共同的测量单位时，他们不得不面对一个全新的问题。在整个古希腊思想史上，特别是在柏拉图的对话中，我们都能感受到这一困境所造成的深远影响。它标示着古希腊数学中的一场真正危机。没有一个古代思想家能够使用我们近代的方式、通过引入所谓的“无理数”来解决这个问题。从古希腊逻辑和数学的角度来看，无理数在词义上是自相矛盾的。它们是不可思议也是不可名状之事（arrheton）。[8]由于数被定义为整数或整数之间的一个比，所以因没有共同测量单位而不可比较的一个长度，就是一种不可用任何数来表示的长度，它违背并使数的所有逻辑力量都化为泡影。但毕氏学派在数之中所寻求和所发现的，原本是一切存在和一切知识形式，是知觉、直观和思想上的完美和谐。并且由此，算术、几何、物理学、音乐、天文学似乎形成了一个独一连贯的整体，天地万物皆化为“数与和谐”。[9]然而，一种不可比较的长度的发现，则宣告了这个论点的分崩离析。从此以后，算术和几何学之间、离散数和连续量这两个领域之间就不再有真正的和谐了。
为了恢复这种和谐，花费了数学及哲学思想研究许多世纪的努力。一种关于数学连续统的逻辑理论是数学思想最近的成就之一。[10]没有这种理论，所有新的数的创造，如分数、无理数等等，似乎总是一种不确定、不可靠的事业。倘若人类心智仅凭一己之力即可任意创造一个新的事物领域，那我们就必须得改变我们对客观真理的所有概念。但在这里，当我们考虑到数的符号性质时，这个困境也就**然无存了。在这种情况下显而易见之处就在于，在引入新类型的数时，我们创造的不是新的对象，而是新的符号。在这方面，自然数与分数或无理数都在同一层面上。它们也不是对具体事物、物理对象的描述或反映，相反，它们表达的是非常简单的关系。数的自然领域的扩大和向更大领域的延伸，仅仅意味着引入了易于描述更高层级的新符号。新的数不是简单关系的符号而是“关系的关系”的符号，“关系的关系的关系”的符号，以此类推。所有这一切与整数的性质并不矛盾，而是阐明并证实了这一性质。为了填补作为离散量的整数与包含在时空连续统中的物理事件世界之间的孔隙，数学思想必须要找到一种新工具。如果数是一种“物”，是本身就独立自在的实体（a substantia quae in se est et per se concipitur），那么这个问题始终就不会得到解决。但由于数是一种符号语言，所以唯一需要的就是以一种连贯一致的方式去发展这种语言的词汇、词法和句法。这里需要的不是数在本性和本质上的变化，而是在意义上的变化。一种数学哲学必须证明这种变化不会导致歧义或自相矛盾，必须要证明：那种不能用整数或整数之间的比例来精确表示的量，通过引入新的符号后就完全可被理解和表达了。
所有的几何问题都具有进行这种变化的可能，这是近代哲学最早的重大发现之一。笛卡尔的解析几何首次令人信服地证明了广延与数之间的关系。从此几何语言不再是一种专门领域的方言了，它成了一种更广泛的语言——普遍数学——的一部分。但对于笛卡尔来说，他还不可能以同样的方式去征服物质和运动的物理世界。他试图发展数学物理学的尝试失败了。我们物理世界的质料是由感觉料构成的，这些感觉料代表着顽固而倔强的事实，它们似乎在抗拒笛卡尔逻辑思维和理性思维的一切努力。他的物理学仍然是一种由任意假设组成的网状系统。但如果笛卡尔作为一名物理学家可能在他的方法上犯了错误的话，那么他在他的基本哲学目标上并没有错。从这以后，这一目标得到了明确的理解并坚固地树立起来了：物理学的所有分支都朝着一个方向努力，力图把自然现象的整个世界都置于数的掌控之下。
在这种一般方法论的理想中，我们并没有发现古典物理学和近代物理学之间的对立。量子力学在某种意义上恢复了古典的毕达格拉斯理想的活力，是对它的真正复兴和证实。但在这里也有必要引入一种更抽象的符号语言。当德谟克利特描述他的原子结构时，他利用我们感官经验世界中得到相似性来进行类比。他给出的原子的图或形象，类似于我们宏观宇宙中常见的物体。原子之间的区别在于它们的形状、大小和其各部分的排列。它们之间的联结是通过物质连接来解释的：各单个原子都具有钩和孔眼，以及球和孔窝，这就使它们成为可连接的。所有这些形象化的描述、比喻性的说明在我们近代原子理论中已经**然无存了。在玻尔的原子模型中就没有这种具有画面感的语言。科学不再使用普通的感官经验的语言了，而是用上了数的语言。数的纯粹符号体系取代并消除了普通言语符号体系。不仅宏观世界，而且微观世界——原子间现象的世界——如今都可以用这种语言来描述。事实证明，它开启了一种全新的系统解释。阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）在其著作《原子结构与谱线》[11]的序言中写道：
发现了光谱分析后，受过物理学训练的人都不会怀疑，一旦物理学家学会了理解光谱的语言，原子的问题就会得到解决。六十年的光谱学研究所积累的资料卷帙浩繁，杂乱多样，一开始看起来似乎不可能厘清。……我们现在听到的光谱语言是原子内部真正的“天籁”，是整体关系的和弦，尽管种类繁多，秩序与和声却愈加完美。……谱线和原子理论的所有积分定律都起源于量子理论。它就是那神秘的工具，大自然在上面演奏她的光谱乐，并根据它的节奏来调节原子和原子核的结构。
化学史是科学语言这种缓慢演变最精彩、最瞩目的例子之一。化学迈入“科学大道”的时间要比物理学晚得多。许多世纪以来，化学思想的进步之所以受到阻碍并使化学滞留在前科学概念范围内的原因，绝不是因为缺乏新的经验证据。如果我们研究炼金术的历史，我们会发现炼金方士具有惊人的观察才能。他们收集了大量有价值的事实，这是一种原材料，没有它们，化学就很难发展起来。[12]但这种原材料的呈现形式是相当不充分的。当炼金术士最初去描述他的观察结果时，他没有什么工具可用，只有一种充满了玄而又玄的术语、神乎其神的语言。他用象征和隐喻而不是科学概念来表达。这种扑朔迷离的语言在他整个自然观上都烙下了印记。大自然成了充满玄奥神妙性的领域，只有入了门的行家里手才能理解。化学思想的新流派萌发于文艺复兴时期。在“医学化学”学派中，生物学和医学思想盛行了起来。但解决化学问题真正的科学方法直到十七世纪才出现。罗伯特·波义耳（Robert Boyle）的著作《怀疑派化学家》所基于的是新的关于自然的一般概念和自然规律，它是近代化学理想的伟大先例。然而即使在这里和以后的燃素说发展过程中，我们看见的也只是对化学过程的定性描述。直到十八世纪末的拉瓦锡时代，化学才发展出一种定量语言。从那时起我们就见证了化学突飞猛进的发展。当道尔顿发现了等效或多重比例定律时，这就为化学开辟了一条新道路。数的权力已经牢固地建立起来了。尽管如此，化学经验的大部分领域仍然尚未完全服从数的规则。化学元素的列表仅仅是个经验列表，它并不依赖于任何固定的原则，也没显示出明确的系统秩序。但即使这一最后障碍也因元素周期系统的发现而得以排除。每一种元素都在一个连贯系统中找到了自己的位置，而这个位置是由元素的原子序数规定的。“真正的原子序数，就是在考虑化学关系以决定每个元素的排列时，规定了元素在自然系统中的位置的那个数字。”在周期系统的基础上进行论证，就可以预测未知元素并依序发现它们。如此一来，化学就获得了一种新的数学和演绎结构。[13]
我们在生物史上也可追溯到同样的一般思想趋势。就像所有其他自然科学一样，生物学也必须从对简单的事实进行分类开始，并仍然以我们普通语言的类别概念作为指导。科学生物学给这些概念定下了更明确的含义。亚里士多德的动物学分类系统和提奥弗拉斯特（Theophrastus）的植物学分类系统都表现出了高度连贯性和方法论的有序性。但在近代生物学中，所有这些早期的分类形式都被一种不同的理想遮住了。生物学正在慢慢地进入一个“演绎阐述理论”的新阶段。诺斯罗普教授说：
任何科学在其正常发展过程中都会经历两个阶段：第一个阶段我们称之为自然史阶段，第二个阶段则是假设规定理论的阶段。这两个阶段各有其明确的科学概念类型。我们称自然史阶段的概念为通过检验得来的概念；而称假设规定阶段的概念为通过假设得来的概念。一个通过检验得来的概念，就是一个由被直接认识到的某种事物给出其完整意义的概念。而一个通过假设得来的概念，则是一个由它所在的演绎理论中的各种假设来定义的概念。[14]
从仅仅可认识的阶段走向可理解的阶段，为了实现这一决定性的一步，我们始终需要新的思想工具。我们必须要将我们的观察所得置于一个井然有序的符号系统之中，以便使它们在科学概念上具有连贯性和可解释性。
数学是一种普遍符号语言，它所涉及的不是对事物的描述而是对关系的一般表达——这种观念在哲学史上出现得相当晚。而基于这一假设的数学理论在十七世纪之后才登场。莱布尼茨是首位清晰地洞察到数学符号体系的真髓并立即作出了繁多贡献的近代大思想家。在这方面，数学史与所有其他符号形式的历史并无不同。即使对于数学来说，发现新的符号思维格局也是极其困难的；这样的思维早在数学家能够说明其特殊的逻辑特征之前就已被他们采用了。像语言符号和艺术符号一样，数学符号从一开始就笼罩着某种巫术色彩，而人们对它们怀有宗教意义上的敬畏和崇敬。后来，这种宗教般的神秘信仰逐渐发展成为一种形而上学信仰。在柏拉图的哲学中，数字不再笼罩在神秘之中，相反，它被视为是智识世界的中心，已经成为探索所有真理与可理解事物的线索。当柏拉图晚年提出其理想世界的理论时，他试图从纯粹数的角度来描述它。对他来说，数学是可感世界和超感世界之间的居间领域。柏拉图也是一位真正的毕氏信徒，他像毕氏信徒一样，也确信数的力量涵盖了整个可见世界。但数的形而上学本质却不能被任何可见的现象所揭示。现象虽然涉及这一本质但它们不能充分地表达它，因为它们必定不符合理想。把我们在自然现象中，把在天体运动中发现的那些可见的数看作是真正的数学的数，是错误的。我们在这里看到的数只是纯粹理想性数的“迹象”。理想的数是要靠理性和智性来理解的，而不是靠视觉来理解的。
璀璨的苍穹应被视为典范，以期获得更高级的知识；苍穹的美，就像代达罗斯或其他大艺术家精湛地打造出的形象或画所具有的美，其风采是我们有缘目睹的。任何看见这些作品的几何学家都会欣赏到其巧夺天工的手艺，但他永远不会梦想他能在其中找到真正的相等、真正的倍数，或其他任何比例的真理。……一个真正的天文学家观察星宿运动时不是也有同样的感觉吗？他岂不是也以为，天空和天上的一切都是由其创造者用最完美的方式造出来的吗？但他永远也不会认为，昼与夜的比例、昼夜与月的比例、月与年的比例，它们与星宿以及星宿彼此间的比例，或其他任何有形可见之物也会是永恒不变的，因为这样想是荒谬的，呕心沥血地去研究它们的确切真理也同样是荒谬的。[15]
现代认识论不再支持这种柏拉图数论。它并不把数学看作是对可见或不可见之物的研究，而是看作对关系和关系类型的研究。如果我们谈论数的客观性，我们并不认为它是种独立的形而上学实体或物理实体。我们想要表达的就是：数是探索自然与实在的工具。科学史就是这种持续的智识进程的典型例子。数学思想似乎常常领先于物理科学。我们最重要的数学理论不是产生于直接的实际需要或技术需要，而是被设想为先于任何具体应用之前的一般思想框架。爱因斯坦发展其广义相对论时，他就借助了早已创立的黎曼（Riemann）几何学，但黎曼那时认为这仅仅是一种纯粹逻辑上的可能性。可黎曼相信我们需要这样的可能性，它可以为描述实际的事实做好准备。我们需要的是完全自由地建构数学符号体系的各种形式，以便为物理科学思想提供其所需要的一切思想工具。大自然是无穷无尽的，它总会给我们带来意想不到的新问题。我们不能预见事实，但我们可凭借符号思维的力量来作好准备，从而去对事实作出智性的解释。
如果我们接受这一观点，我们就能回答近代自然科学中最棘手、最有争议的问题之一：决定论的问题。科学需要的不是形而上学上的决定论而是方法论上的决定论。我们可以否定著名的拉普拉斯公式（Laplace equation）中所表达的机械决定论，[16]但真正的科学决定论，即数的决定论，则是不易受到这些否定的。我们不再认为数是一种神秘力量或事物的形而上学本质，而是把它看作是一种特定的知识工具。显然，现代物理学的任何成果都不会质疑这一观念。量子力学的进步就向我们表明，我们的数学语言要比在经典物理学体系中的数学语言更丰富且更具可塑性。它能适应新问题和新要求。当海森堡（Heisenberg）提出他的理论时，他使用了一种新的代数符号体系形式，这是一种会令我们的普通代数规则因此变得无效的符号体系。但数的一般形式在随后所有的这些体系中都得到了保存。高斯说过：“数学是科学的女王，而算术则是数学的女王。”在对十九世纪数学思想发展所做出的历史概述中，费利克斯·克莱因宣称，这个发展的最典型特征之一就是数学的渐进式“算术化”。[17]而在近代物理学史中我们也可以看见这一算术化的过程。从汉密顿（Hamilton）的四元数到量子力学的不同体系，我们都看到了越来越复杂的代数符号体系。科学家所依据的行动原则就在于，即使在最复杂的情况下，他最终也会成功地找到一种充分的符号体系，使他能够用一般人都能理解的普及性语言来描述他的观察结果。
诚然，科学家并未向我们提供关于这种基本假设的逻辑证明或经验证明。他给我们的唯一证明就是他的工作。他将数的决定论这个原则作为指导准则，作为一种调节性理念，使他的工作具有了逻辑连贯性和条理的统一性。在亥姆霍兹的著作《生理光学论》中，我发现了对科学过程这种总特征所做出的一番最精彩的陈述。亥姆霍兹说，如果我们科学知识的原理，例如因果律，只不过是经验规则，那么它们的归纳证明会是非常糟糕的。我们最多只能说，这些原理并不比诸如风的循环定律等气象学规则更可靠。但这些原理不言自明地具有纯粹逻辑规律的性质，因为从这些原理得出的结论与我们的实际经验和纯粹的自然事实无关，而是与我们对自然的解释有关。
我们对自然现象的理解过程就在于，我们力图去找到关于自然的各种一般概念和规律。自然规律仅仅是关于自然变化的通用概念。……因此，当我们不能将自然现象追溯至某一规律时，理解这些现象的那种可能性也就不存在。
然而我们必须设法去理解它们。没有其他方法可将它们置于智性的控制之下。因此在研究它们时，我们必须假设它们是可被理解的。同样，充足理由律实际上不过是我们智性的欲望，它要去把我们所有的知觉都置于它自己的控制之下。它并不是自然规律。我们的智性是形成一般概念的能力。倘若它不能形成一般概念或规律，它就与我们的感知和经验没有任何关系。……不管怎样，除了我们的智性，没有其他同样条理化的能力可以理解外部世界。因此如果我们不能构想出一物，我们就不能把它设想为存在的东西。[18]
这番话透彻地描述了科学精神的一般态度。科学家知道，仍然有很大的现象领域可能无法被简化为严格的规律和精确的数的规则。尽管如此，他仍然忠于这条毕达哥拉斯总信条：他相信整个大自然及其一切特殊领域就是“数与和谐”。面对着浩瀚无垠的大自然，许多最伟大的科学家可能都具有牛顿的一句名言中所表达的那种特殊情怀。他们也许都会感到，在自己的工作中他们就像个孩子一样，沿着无边无际的海岸散着步，偶尔自得其乐地捡起一块鹅卵石，因为它的形状或颜色吸引了他的目光。这种谦逊的情怀是可以理解的，但它并没有真实而全面地描述出科学家的工作。如果不恪守自然的事实，科学家就不能实现科学目的。但这种恪守并非被动的服从。所有伟大的自然科学家，如伽利略、牛顿、麦克斯韦、亥姆霍兹、普朗克和爱因斯坦，他们的工作不仅仅是收集事实，而是从事着理论性工作，并且这就意味着创造性事业。而这种自发性和创造性是一切人类活动的内核。它是人的至高力量，同时也标示着我们人类世界的天然边界。语言、宗教、艺术、科学，在这些领域中人所能做的就是去建立他自己的宇宙：一个使人能够去理解和解释、阐明和组织、综合和普及人类经验的符号宇宙。
〈1〉本章并不打算提出一个关于科学哲学或知识现象学的纲要。我在《符号形式的哲学》第3卷（1929年）中讨论过后一个问题，并在《实体与功能以及爱因斯坦的相对论》（1910年）中讨论过前一个问题；在本章我仅打算简论科学的一般功能，并且确定它在符号形式体系中的地位。